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<!DOCTYPE html>

<title>Rotverschiebung</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Rotverschiebung</h1>

</header>

</div>

Die Rotverschiebung ist in der <a href="Astronomie" title="Astronomie">Astronomie</a> und <a href="Kosmologie" title="Kosmologie">Kosmologie</a> die Lageveränderung des Spektrums und insbesondere identifizierter <a href="Spektrallinie" title="Spektrallinie">Spektrallinien</a> im <a href="Emissionsspektrum" title="Emissionsspektrum">Emissions-</a> und <a href="Absorptionsspektrum" title="Absorptionsspektrum">Absorptionsspektrum</a> astronomischer Objekte in Richtung der größeren <a href="Wellenl%C3%A4nge" title="Wellenlänge">Wellenlängen</a>. Die Rotverschiebung ist definiert als Verhältnis der Wellenlängenänderung zur ursprünglichen Wellenlänge:

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<mtext>beobachtet</mtext>

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<mtext>beobachtet</mtext>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z:={\frac {\Delta \lambda }{\lambda _{0}}}={\frac {\lambda _{\text{beobachtet}}-\lambda _{0}}{\lambda _{0}}}={\frac {\lambda _{\text{beobachtet}}}{\lambda _{0}}}-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/014960a451c4950c6d2e6fa574217cc412eb4217.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:44.968ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle z:={\frac {\Delta \lambda }{\lambda _{0}}}={\frac {\lambda _{\text{beobachtet}}-\lambda _{0}}{\lambda _{0}}}={\frac {\lambda _{\text{beobachtet}}}{\lambda _{0}}}-1}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Name bezieht sich auf das rote Licht am langwelligen Ende des <a href="Sichtbares_Spektrum" class="mw-redirect" title="Sichtbares Spektrum">sichtbaren Spektrums</a>. Bei <a href="Infrarot" class="mw-redirect" title="Infrarot">Infrarot</a>-Emission verschieben sich die Spektrallinien entsprechend in die Richtung der noch längerwelligen Terahertzstrahlung. Eine Verschiebung zu kürzeren Wellenlängen wird als Blauverschiebung bezeichnet.

Festgestellt wird die Rotverschiebung durch den Vergleich bekannter Atom- und Molekülspektren mit den mittels <a href="Spektroskopie" title="Spektroskopie">Spektroskopie</a> gemessenen Werten, d. h. nach Analyse der Spektrallinien der <a href="Spontane_Emission" title="Spontane Emission">Emissionen</a> oder <a href="Lichtabsorption" title="Lichtabsorption">Absorptionen</a> im Sternenlicht, beispielsweise des Wasserstoffs.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ursachen">Ursachen</h2></div>

Ursachen der Rotverschiebung können sein:

<ol><li>Eine Relativbewegung von Quelle und Beobachter (<a href="Doppler-Effekt" title="Doppler-Effekt">Doppler-Effekt</a>)</li>

<li>Unterschiedliche <a href="Gravitationspotential" class="mw-redirect" title="Gravitationspotential">Gravitationspotentiale</a> von Quelle und Beobachter (<a href="#Gravitative_Rot-_und_Blauverschiebung">Relativität</a>)</li>

<li>Das expandierende Universum zwischen Quelle und Beobachter (<a href="Kosmologie" title="Kosmologie">Kosmologie</a>)</li></ol>

Diese zunächst verschieden erscheinenden und unterschiedlich hergeleiteten Effekte können im Rahmen der <a href="Allgemeine_Relativit%C3%A4tstheorie" title="Allgemeine Relativitätstheorie">allgemeinen Relativitätstheorie</a> auf ein <a href="#Gemeinsames_geometrisches_Konzept">gemeinsames geometrisches Konzept</a> zurückgeführt werden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Messmethoden">Messmethoden</h2></div>

<div class="sieheauch" role="navigation" style="font-style:italic;">Siehe auch: <a href="Tests_der_allgemeinen_Relativit%C3%A4tstheorie" title="Tests der allgemeinen Relativitätstheorie">Tests der allgemeinen Relativitätstheorie</a></div>

In der <a href="Astronomie" title="Astronomie">Astronomie</a> wird die Rotverschiebung durch Methoden der <a href="Spektroskopie" title="Spektroskopie">Spektralanalyse</a> gemessen. Sie sind heute durch digitale statt fotografischer Erfassung wesentlich genauer geworden. Doch um Spektrallinien gut erfassen zu können, müssen die Galaxien eine gewisse Mindest<a href="Helligkeit" title="Helligkeit">helligkeit</a> aufweisen. Rotverschiebungen von Galaxien werden im Rahmen von <a href="Durchmusterung" title="Durchmusterung">Durchmusterungen</a> wie dem <a href="Sloan_Digital_Sky_Survey" title="Sloan Digital Sky Survey">Sloan Digital Sky Survey</a> regelmäßig neu bestimmt.

Die gravitative Rotverschiebung konnte mit Hilfe des <a href="M%C3%B6%C3%9Fbauer-Effekt" title="Mößbauer-Effekt">Mößbauer-Effekts</a> in Laborexperimenten wie dem <a href="Pound-Rebka-Experiment" title="Pound-Rebka-Experiment">Pound-Rebka-Experiment</a> nachgewiesen werden.

Die Entwicklung von <a href="Atomuhr" title="Atomuhr">Atomuhren</a> hat es möglich gemacht, den Einfluss der Gravitation auf die Zeit auch direkt zu messen. Im Prinzip ist diese Messung eine Variation der Nachweise der gravitativen Rotverschiebung. 1971 wurde beim <a href="Hafele-Keating-Experiment" title="Hafele-Keating-Experiment">Hafele-Keating-Experiment</a> durch Josef Hafele und Richard Keating mit Caesiumuhren in Flugzeugen der durch die Gravitation verursachte Gangunterschied von Uhren in verschiedenen Höhen gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie mit etwa 10 % Genauigkeit eindeutig nachgewiesen. Durch ein ähnliches Experiment von C. Alley konnte im <a href="Maryland-Experiment" class="mw-redirect" title="Maryland-Experiment">Maryland-Experiment</a> die Genauigkeit 1976 auf 1 % gesteigert werden. Robert Vessot und Martin Levine publizierten 1979 Ergebnisse eines ähnlichen Experiments mit Hilfe von Raketen und gaben eine Genauigkeit von 0,02 % an. Beim heutigen satellitengestützten <a href="Global_Positioning_System" title="Global Positioning System">GPS-Navigationssystem</a> müssen Korrekturen sowohl gemäß der speziellen als auch der allgemeinen Relativitätstheorie berücksichtigt werden, wobei Effekte durch die allgemeine Relativitätstheorie überwiegen. Umgekehrt kann dies auch als Bestätigung dieser Theorien angesehen werden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Rot-_und_Blauverschiebung_durch_relative_Bewegung">Rot- und Blauverschiebung durch relative Bewegung</h2></div>

Rot- und Blauverschiebung sind Begriffe aus der <a href="Spektroskopie" title="Spektroskopie">Spektroskopie</a>, bei der man <a href="Spektrallinie" title="Spektrallinie">Spektrallinien</a> von <a href="Atomkern" title="Atomkern">Atomkernen</a>, <a href="Atom" title="Atom">Atomen</a> und <a href="Molek%C3%BCl" title="Molekül">Molekülen</a> untersucht. Diese können in <a href="Absorption_(Physik)" title="Absorption (Physik)">Absorption</a> oder <a href="Spontane_Emission" title="Spontane Emission">Emission</a> auftreten, je nachdem, ob <a href="Energie" title="Energie">Energie</a> aufgenommen oder abgegeben wird. Die Energie wird durch <a href="Elektromagnetische_Strahlung" class="mw-redirect" title="Elektromagnetische Strahlung">elektromagnetische Strahlung</a> in Form von Photonen ausgetauscht, ist also <a href="Gequantelt" class="mw-redirect" title="Gequantelt">gequantelt</a>.

Wo sich die Spektrallinien im Spektrum befinden, hängt nicht nur von den Einzelheiten des Quantenübergangs ab, sondern auch vom Bewegungszustand der Strahlungsquelle relativ zum Beobachter (<a href="Dopplereffekt" class="mw-redirect" title="Dopplereffekt">Dopplereffekt</a>) und von der <a href="Allgemeine_Relativit%C3%A4tstheorie#Raumzeitkrümmung" title="Allgemeine Relativitätstheorie">Krümmung der Raumzeit</a>.

Befindet man sich im <a href="Ruhesystem" title="Ruhesystem">Ruhesystem</a> des Emitters (Relativgeschwindigkeit null zwischen Emitter und Beobachter), so misst man die Spektrallinie bei ihrer Ruhewellenlänge. Nun kann aber auch eine <a href="Bewegung_(Physik)#Relativität_der_Bewegung" title="Bewegung (Physik)">Relativbewegung</a> zwischen Strahlungsquelle und <a href="Strahlungsdetektor" title="Strahlungsdetektor">Detektor</a> vorliegen. Wesentlich ist nur diejenige Geschwindigkeitskomponente, die in Richtung des Detektors zeigt. Diese Komponente heißt <a href="Radialgeschwindigkeit" title="Radialgeschwindigkeit">Radialgeschwindigkeit</a>. Ihr <a href="Vektor#Länge/Betrag_eines_Vektors" title="Vektor">Betrag</a> ist die Relativgeschwindigkeit zwischen Emitter und Beobachter. Elektromagnetische Strahlung bewegt sich sowohl bei der Emission als auch bei der Absorption mit der <a href="Lichtgeschwindigkeit" title="Lichtgeschwindigkeit">Lichtgeschwindigkeit</a>, gleichgültig wie schnell sich Quelle und Ziel relativ zueinander bewegen.

Bewegt sich die Strahlungsquelle vom Beobachter weg, so wird die Spektrallinie zu größeren, roten Wellenlängen hin verschoben. Die Welle wird gewissermaßen auseinandergezogen. Dies nennt man Rotverschiebung. Bewegt sich die Strahlungsquelle auf den Beobachter zu, so wird die Spektrallinie zu kleineren Wellenlängen hin verschoben. Dies ist gerade die Blauverschiebung, weil die Linie zum blauen Teil des Spektrums verschoben wird. Anschaulich kann man sich vorstellen, dass die elektromagnetische Welle gestaucht wird.

Die ganze atomare und molekulare Welt ist aufgrund der <a href="Thermodynamik" title="Thermodynamik">Thermodynamik</a> in Bewegung. Bei endlicher Temperatur bewegen sich diese Strahler geringfügig um eine Ruhelage. Spektrallinien haben deshalb eine natürliche Breite aufgrund atomarer Bewegung und Molekularbewegung, weil sie sich relativ zum Detektor immer ein wenig vor und zurück bewegen. Dieses Phänomen nennen Physiker thermische <a href="Dopplerverbreiterung" title="Dopplerverbreiterung">Dopplerverbreiterung</a>. Die Ruhewellenlänge ist also nicht beliebig scharf. Das kann sie aufgrund der <a href="Heisenbergsche_Unsch%C3%A4rferelation" title="Heisenbergsche Unschärferelation">Heisenbergschen Unschärfe</a> der <a href="Quantentheorie" class="mw-redirect" title="Quantentheorie">Quantentheorie</a> auch nicht sein.

Die <a href="Spezielle_Relativit%C3%A4tstheorie" title="Spezielle Relativitätstheorie">spezielle Relativitätstheorie</a> gibt für den Zusammenhang zwischen Radialgeschwindigkeit v und Dopplerverschiebung z den folgenden Zusammenhang (mit der Lichtgeschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy">):

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</mrow>

</mstyle>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z={\sqrt {\frac {1+{\frac {v}{c}}}{1-{\frac {v}{c}}}}}-1}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c119530327a23a2c222f2eb5f3d3853e8be81d34.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:16.986ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle z={\sqrt {\frac {1+{\frac {v}{c}}}{1-{\frac {v}{c}}}}}-1}" loading="lazy"></dd></dl>

und umgekehrt

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {v}{c}}={\frac {(1+z)^{2}-1}{(1+z)^{2}+1}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e234946adeadce80b132a8a475f2da42170f214.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:17.856ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {v}{c}}={\frac {(1+z)^{2}-1}{(1+z)^{2}+1}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Bei niedrigen Geschwindigkeiten (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v/c\ll 1}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v/c\ll 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/66d1f4aa561fd957ee02ead4c296199b34cfbf8c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.073ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle v/c\ll 1}" loading="lazy">) kann dieser Zusammenhang durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z\approx v/c}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z\approx v/c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e58a899546d074f7ede54449c0780a383c021978.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.484ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle z\approx v/c}" loading="lazy"> genähert werden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Gravitative_Rot-_und_Blauverschiebung">Gravitative Rot- und Blauverschiebung</h2></div>

Die gravitative Rotverschiebung (auch Gravitations-Rotverschiebung) ist die Vergrößerung der Wellenlänge, wenn das Licht sich von einem Gravitationszentrum entfernt, also „nach oben“ abgestrahlt wird. Bei der gravitativen Blauverschiebung (auch Gravitations-Blauverschiebung) handelt es sich um den umgekehrten Effekt, also eine Verkleinerung der Wellenlänge, wenn Licht sich auf ein Gravitationszentrum zu („nach unten“) bewegt.

Die gravitative Rotverschiebung ist eine direkte Folge der <a href="Zeitdilatation#Zeitdilatation_durch_Gravitation" title="Zeitdilatation">gravitativen Zeitdilatation</a> und hat die gleiche Größe wie diese. Uhren gehen in größerer Entfernung von einem Gravitationszentrum schneller als näher dran. Das bedeutet zum Beispiel: Wenn ein Lichtsignal bestimmter Dauer mit einer gewissen Anzahl Schwingungen unten ausgesandt wird, dann kommt oben zwar die gleiche Anzahl von Schwingungen an, aber die Dauer des Signals wird auf der schneller gehenden Uhr oben größer abgelesen als auf der Uhr unten beim Sender. Der gleiche periodische Vorgang wird oben also mit einer längeren Periodendauer bzw. geringeren Frequenz gemessen als unten.

Da die Lichtgeschwindigkeit überall gleich ist, bedeutet das, dass die Länge des ganzen Signals wie auch der Abstand zwischen den einzelnen Wellenbergen anwachsen, solange sich das Signal nach oben bewegt. Das oben ankommende Licht wird mit längerer Wellenlänge gemessen.

Die Rotverschiebung aufgrund der gravitativen Zeitdilatation wurde bereits 1907, also lange vor der Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie, von Einstein aus der <a href="Spezielle_Relativit%C3%A4tstheorie" title="Spezielle Relativitätstheorie">speziellen Relativitätstheorie</a> in Kombination mit dem <a href="%C3%84quivalenzprinzip_(Physik)" title="Äquivalenzprinzip (Physik)">starken Äquivalenzprinzip</a> (d. h. Gleichwertigkeit von Beschleunigung und Gravitation) hergeleitet.<a href="#cite_note-1">[1]</a> Davon unabhängig leitete er 1911 aus der <a href="%C3%84quivalenz_von_Masse_und_Energie" title="Äquivalenz von Masse und Energie">Äquivalenz von Masse und Energie</a> sowie dem <a href="Energieerhaltungssatz" title="Energieerhaltungssatz">Energieerhaltungssatz</a> her, dass der Energieinhalt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.776ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E}" loading="lazy"> einer Strahlung in einem Gravitationsfeld sich längs des Weges genau so verändert wie die kinetische Energie eines auf dem gleichen Weg frei fliegenden Körpers der Masse <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E/c^{2}}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E/c^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8a3cef93c3efc3b8daaa992989c25559fb534b48.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.999ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle E/c^{2}}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-2">[2]</a>

Die gravitative Rotverschiebung ist auf der Erde mit etwa <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 10^{-16}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 10^{-16}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e4c5096630da63247b29124f01f3f7cb068013c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.48ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 10^{-16}}" loading="lazy"> pro Meter Höhenunterschied so gering, dass sie erst 1960 im <a href="Pound-Rebka-Experiment" title="Pound-Rebka-Experiment">Pound-Rebka-Experiment</a> überzeugend nachgewiesen werden konnte.<a href="#cite_note-Hetherington1980-3">[3]</a> Bis dahin gab es einige Hinweise in Spektren von Sternen, bei denen ein größerer Effekt erwartet wurde, der aber nicht deutlich von Störungen (z. B. Dopplereffekt, Druckverschiebung, Streulicht von anderen Sternen) unterschieden werden konnte. So war eine Rotverschiebung im Sonnenspektrum bereits um 1896 von L. E. Jewell und <a href="Henry_Augustus_Rowland" title="Henry Augustus Rowland">H.A. Rowland</a> in Präzisionsmessungen mit einem Rowlandschen Konkavgitter gefunden worden, aber dann als Doppler- oder Druckverschiebung interpretiert worden.<a href="#cite_note-4">[4]</a> Versuche von Erwin Freundlich in Potsdam, Leonard Grebe und Albert Bachem in Bonn sowie von Charles E. St. John am Mt. Wilson Observatory in den USA, die Gravitationsrotverschiebung im Sonnenspektrum nachzuweisen, führten auf uneindeutige Ergebnisse.<a href="#cite_note-5">[5]</a> <a href="Walter_Sydney_Adams" title="Walter Sydney Adams">W. S. Adams</a> fand 1925 eine Rotverschiebung am <a href="Wei%C3%9Fer_Zwerg" title="Weißer Zwerg">Weißen Zwerg</a> <a href="Sirius#Sirius_B" title="Sirius">Sirius B</a>, die später durch Streulicht vom viel helleren Hauptstern Sirius A erklärt werden musste. Die Messung der gravitativen Rotverschiebung an Weißen Zwergen ist auch deswegen schwierig, weil sie von der Rotverschiebung durch die Eigenbewegung unterschieden werden muss. <a href="Robert_Pound" title="Robert Pound">Robert Pound</a> und <a href="Glen_Rebka" title="Glen Rebka">Glen Rebka</a> wiesen 1960 die gravitative Rotverschiebung von Gammastrahlung mit 10 % Genauigkeit im Erdgravitationsfeld mit Hilfe des <a href="M%C3%B6%C3%9Fbauer-Effekt" title="Mößbauer-Effekt">Mößbauer-Effektes</a> bei einem Höhenunterschied von nur 25 m nach.<a href="#cite_note-6">[6]</a> Spätere Verbesserungen erreichten beim Pound-Rebka-Snider-Experiment eine Genauigkeit von etwa 1,5 %. Die gravitative Rotverschiebung wurde mittels Raumsonden auch für die <a href="Sonne" title="Sonne">Sonne</a> und den <a href="Saturn_(Planet)" title="Saturn (Planet)">Saturn</a> nachgewiesen. Der geplante Satellit OPTIS soll, neben anderen Tests zur speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie, die gravitative Rotverschiebung mit einer Genauigkeit von 10−5 testen. 2018 wurde die gravitative Rotverschiebung beim Stern <a href="S2_(Stern)" title="S2 (Stern)">S2</a> bei dessen größter Annäherung an das Schwarze Loch in Sagittarius A im Zentrum der Milchstraße nachgewiesen.<a href="#cite_note-7">[7]</a> Zu allen Experimenten ist anzumerken, dass dabei nicht die allgemeine Relativitätstheorie im Detail überprüft wird, sondern nur die Richtigkeit derjenigen ihrer Voraussetzungen, aus denen die gravitative Rotverschiebung bereits hergeleitet werden kann (siehe oben).

Für Licht, das im Abstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fb12fcfddb65e3d1e6a044215f6e833f0cd4337b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.103ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{0}}" loading="lazy"> vom Gravitationszentrum ausgesandt wird, gilt in großem Abstand für die gravitative Rotverschiebung

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

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</mrow>

<mrow>

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</mrow>

</msub>

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</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

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</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{\infty }=\left(1-{\frac {2\;\!GM}{r_{0}c^{2}}}\right)^{\!-1/2}-1=\left(1-{\frac {r_{S}}{r_{0}}}\right)^{\!-1/2}-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/abc534fecb4c6d90485d0d78b5193b4789269aac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:48.889ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle z_{\infty }=\left(1-{\frac {2\;\!GM}{r_{0}c^{2}}}\right)^{\!-1/2}-1=\left(1-{\frac {r_{S}}{r_{0}}}\right)^{\!-1/2}-1}" loading="lazy"></dd></dl>

mit der <a href="Gravitationskonstante" title="Gravitationskonstante">Gravitationskonstante</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy">, der Masse des Gravitationszentrums <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy">, der <a href="Lichtgeschwindigkeit" title="Lichtgeschwindigkeit">Lichtgeschwindigkeit</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"> und dem <a href="Schwarzschildradius" class="mw-redirect" title="Schwarzschildradius">Schwarzschildradius</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle r_{\mathrm {s} }={\frac {2GM}{c^{2}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle r_{\mathrm {s} }={\frac {2GM}{c^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cfbe7f33f715853ef270bb216c72382610bd2053.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:9.704ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle \textstyle r_{\mathrm {s} }={\frac {2GM}{c^{2}}}}" loading="lazy">.

<caption>Gravitative Rotverschiebung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{\infty }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{\infty }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/777cca20bbd49bc41aec9cb2f84ecd321e462d3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.957ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle z_{\infty }}" loading="lazy"> verschiedener Himmelsobjekte für einen Beobachter im Unendlichen

</caption>

<th>Planet/Stern</th>

<th>Rotverschiebung

</th>

</td>

<th>Stern</th>

<th>Rotverschiebung

</th></tr>

<tr>

<td style="text-align:right">6,2 ⋅ 10−6

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Jupiter_(Planet)" title="Jupiter (Planet)">Jupiter</a></td>

<td><a href="Sirius#Sirius_B" title="Sirius">Sirius B</a></td>

<td style="text-align:right">2,4 ⋅ 10−4

</td></tr>

<tr>

<td style="text-align:right">8,0 ⋅ 10−4

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Beteigeuze" title="Beteigeuze">Beteigeuze</a></td>

<td><a href="Neutronenstern" title="Neutronenstern">Neutronenstern</a> mit 1,4 M☉</td>

<td style="text-align:right">0,24

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Pollux_(Stern)" title="Pollux (Stern)">Pollux</a></td>

<td>Neutronenstern mit 1,8 M☉</td>

<td style="text-align:right">0,34

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Sonne" title="Sonne">Sonne</a></td>

<td><a href="Schwarzes_Loch" title="Schwarzes Loch">Schwarzes Loch</a>, Ereignishorizont</td>

<td style="text-align:right">unendlich

</td></tr>

</tbody></table>

Für die Beispiele von Neutronensternen mit jeweils gleichem Radius <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{0}=12\ \mathrm {km} }">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{0}=12\ \mathrm {km} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/22bf5356228e49b15f9b59c0d1301d6d8ff480f5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.27ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle r_{0}=12\ \mathrm {km} }" loading="lazy"> ergeben sich die Tabellenwerte von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=0{,}24}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=0{,}24}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53ceef2656b26265ccf6eafbd9bc38494c1d9925.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.321ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle z=0{,}24}" loading="lazy"> für den masseärmeren und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=0{,}34}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=0{,}34}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0fe070164f88b46ab17abf19703b33975e008c37.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.321ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle z=0{,}34}" loading="lazy"> für den massereicheren Neutronenstern.

Eine lineare Näherung ergibt für schwache Gravitationsfelder (kleine Massen oder große Radien) die Näherungsformel:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{\infty }={\frac {GM}{r_{0}c^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b254fe36fa2df3d6de0efc9e74cef1452381dbe5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:11.16ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle z_{\infty }={\frac {GM}{r_{0}c^{2}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Für das Beispiel Erde und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{0}=6378\ \mathrm {km} }">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{0}=6378\ \mathrm {km} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ecdd81d52189972d7539533acabeb7c92a91186f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.595ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle r_{0}=6378\ \mathrm {km} }" loading="lazy"> ergibt sich der Tabellenwert von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{\infty }=7{,}0\cdot 10^{-10}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{\infty }=7{,}0\cdot 10^{-10}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/79e0762245b2147a9ba0e5636546a5227b7011d9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:16.186ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle z_{\infty }=7{,}0\cdot 10^{-10}}" loading="lazy">.

Ein Beobachter, der sich nicht im Unendlichen, sondern im Abstand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4cbe9b0b294fdd6fadbf9a7249813f016dcbc44f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.103ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{2}}" loading="lazy"> befindet, beobachtet eine Rotverschiebung

<mfrac>

<msub>

<mtext>gesendet</mtext>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mtext>empfangen</mtext>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msub>

<mtext>empfangen</mtext>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mtext>gesendet</mtext>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+z={\frac {f_{\text{gesendet}}}{f_{\text{empfangen}}}}={\frac {\lambda _{\text{empfangen}}}{\lambda _{\text{gesendet}}}}={\sqrt {\frac {1-r_{\mathrm {s} }/r_{2}}{1-r_{\mathrm {s} }/r_{0}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3538ff35d7eaea344903022114db2e4388c288f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:46.811ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle 1+z={\frac {f_{\text{gesendet}}}{f_{\text{empfangen}}}}={\frac {\lambda _{\text{empfangen}}}{\lambda _{\text{gesendet}}}}={\sqrt {\frac {1-r_{\mathrm {s} }/r_{2}}{1-r_{\mathrm {s} }/r_{0}}}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Kosmologische_Rotverschiebung">Kosmologische Rotverschiebung</h2></div>

Im Standardmodell der <a href="Kosmologie" title="Kosmologie">Kosmologie</a> wird zwischen der sogenannten <a href="Pekuliargeschwindigkeit" title="Pekuliargeschwindigkeit">Pekuliargeschwindigkeit</a> und der Bewegung der Galaxien aufgrund der <a href="Expansion_des_Universums" title="Expansion des Universums">Expansion des Universums</a> unterschieden. Beide Bewegungen bestimmen die Verschiebung des Spektrums von Galaxien und auch von einzelnen Sternen, wobei immer eine Rotverschiebung weit entfernter Galaxien vorliegt und bei nahen Galaxien manchmal auch eine Blauverschiebung des Spektrums gemessen wird. Die Rotverschiebung aufgrund der Expansion des Universums wird hier deswegen auch als kosmologische Rotverschiebung bezeichnet. Die aus der Rotverschiebung abgeleiteten Fluchtgeschwindigkeiten ferner Galaxien sind demnach auf die Expansion der Raumzeit zurückzuführen. Die berechneten Geschwindigkeiten werden auch als Rezessionsgeschwindigkeit bezeichnet.

Bereits ab Entfernungen von wenigen 100 <a href="Megaparsec" class="mw-redirect" title="Megaparsec">Megaparsec</a> ist der Anteil der Verschiebung des Spektrums aufgrund von überlagerten Eigenbewegungen der Galaxien verschwindend gering. Von den uns nächstgelegenen 1000 Galaxien zeigen beispielsweise 75 Prozent ein rotverschobenes Spektrum. Nur wenige relativ nahe Galaxien zeigen aufgrund zusätzlicher „eigener“ Bewegung relativ zur Erde auf uns zu insgesamt eine Blauverschiebung. Ein Beispiel dafür ist der <a href="Andromedanebel" class="mw-redirect" title="Andromedanebel">Andromedanebel</a>.

Je weiter eine Galaxie entfernt ist, desto stärker ist im Mittel die Rotverschiebung. <a href="Vesto_Slipher" title="Vesto Slipher">Vesto Slipher</a> führte ab 1912 spektroskopische Beobachtungen von Galaxien durch und bestimmte deren <a href="Radialgeschwindigkeit" title="Radialgeschwindigkeit">Radialgeschwindigkeiten</a> aus den Linienverschiebungen. Er erkannte bald, dass die meisten der von ihm beobachteten Galaxien eine Rotverschiebung aufwiesen.<a href="#cite_note-8">[8]</a> 1929 entdeckte <a href="Edwin_Hubble" title="Edwin Hubble">Edwin Hubble</a> den Zusammenhang von Rotverschiebung und Entfernung der Galaxie. Zunächst wurde der Effekt als Dopplereffekt interpretiert, bald aber auf die Expansion des Raumes zurückgeführt. Die kosmologische Rotverschiebung nimmt mit der Galaxienentfernung gemäß der <a href="Hubble-Konstante" title="Hubble-Konstante">Hubble-Konstante</a> zu, weshalb man die Entfernungen durch Messung der Rotverschiebung abschätzen kann.

Je höher die Rotverschiebung eines astronomischen Objekts, desto länger war das von ihm ausgesandte Licht unterwegs und desto weiter zurück in der Vergangenheit sehen wir es. Aus der Rotverschiebung kann mit Hilfe der <a href="Kosmologisches_Entfernungsma%C3%9F#Laufzeitentfernung" title="Kosmologisches Entfernungsmaß">Laufzeitentfernung</a> die Entfernung des Objekts berechnet werden.

Im Oktober 2010 haben Astronomen mit Hilfe des <a href="Very_Large_Telescope" class="mw-redirect" title="Very Large Telescope">Very Large Telescope</a> nachweisen können, dass das Licht der zuvor mit dem <a href="Hubble-Weltraumteleskop" title="Hubble-Weltraumteleskop">Hubble-Weltraumteleskop</a> entdeckten Galaxie <a href="UDFy-38135539" title="UDFy-38135539">UDFy-38135539</a> 13,1 Milliarden Jahre zu uns unterwegs war. Mit dem damaligen Rotverschiebungsrekord von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=8{,}6}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=8{,}6}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/22383c51acd3095141c8e46195e6f0169051f041.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.158ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle z=8{,}6}" loading="lazy"> erreichte uns erstmals beobachtetes Licht, das nur 700 Millionen Jahre nach dem <a href="Urknall" title="Urknall">Urknall</a> ausgesandt wurde; die Galaxie entstand damit in einer Zeit, in der das Universum noch nicht vollständig transparent und um den Faktor 9,6 kleiner war.<a href="#cite_note-9">[9]</a><a href="#cite_note-10">[10]</a>

Mit der Entdeckung der Galaxie <a href="UDFj-39546284" title="UDFj-39546284">UDFj-39546284</a> in der Hubble-Ultra-Deep-Field-09-Aufnahme (HUDF09) konnte eine kosmologische Rotverschiebung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=10{,}3}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=10{,}3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81a8638eef126cc7e1fcaae5b425d04525974a6c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.321ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle z=10{,}3}" loading="lazy"> ermittelt werden. Der bis dahin beobachtete Altersrekord verschob sich damit auf 480 Millionen Jahre nach dem <a href="Urknall" title="Urknall">Urknall</a>. Die neu entdeckte Galaxie mit ihrem Alter von 13,2 Milliarden Jahren würde bei einer Bestätigung der Rotverschiebung einen wichtigen Beobachtungsbaustein zur Entwicklung der ersten Galaxien nach dem Urknall liefern.<a href="#cite_note-11">[11]</a><a href="#cite_note-12">[12]</a>

Im Juli 2022 wurde vom <a href="James-Webb-Weltraumteleskop" title="James-Webb-Weltraumteleskop">James-Webb-Weltraumteleskop</a> im Rahmen des Beobachtungsprogramms Grism Lens-Amplified Survey from Space die <a href="Galaxie" title="Galaxie">Galaxie</a> <a href="GLASS-z12" title="GLASS-z12">GLASS-z12</a> (auch kurz GL-z12), vormals GLASS-z13, aufgefunden.<a href="#cite_note-13">[13]</a> Sie ist derzeit eine der ältesten jemals entdeckten Galaxien, die nur 300 bis 400 Millionen Jahre nach dem Urknall entstanden, also etwa 13,4 Milliarden Jahre alt, ist. Sie hat eine Rotverschiebung von etwa <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=12{,}4}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=12{,}4}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5774a5ba4711d993e6cb33983553d1203a65b7a4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.321ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle z=12{,}4}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-14">[14]</a> Sie wurde zusammen mit einer anderen Galaxie, GLASS-z11, entdeckt, die mit <a href="GN-z11" title="GN-z11">GN-z11</a> vergleichbar ist, ebenfalls eine der ältesten entdeckten Galaxien.<a href="#cite_note-15">[15]</a> Am 25. Oktober 2022 wurden die Messergebnisse der Erstveröffentlichung korrigiert, und da sich statt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z\approx 13}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z\approx 13}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2c67a649bd71a3563bfb2356bfe5663e499c98c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.512ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle z\approx 13}" loading="lazy"> ein Wert von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z\approx 12}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z\approx 12}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c8944edbc29aa509d035efa5735832ffebd9b8cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.512ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle z\approx 12}" loading="lazy"> ergab, wurde die Galaxie in GLASS-z12 umbenannt. Im Jahr 2024 wurde mit <a href="JADES-GS-z14-0" title="JADES-GS-z14-0">JADES-GS-z14-0</a> eine Galaxie mit einer Rotverschiebung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z\approx 14}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z\approx 14}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4c288c042aac04c7fb28e7dba4bdbab4c08e03dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.512ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle z\approx 14}" loading="lazy"> entdeckt.<a href="#cite_note-16">[16]</a>

Gravitativ gebundene Objekte wie Galaxien oder Galaxienhaufen expandieren in ihrer Größe nicht, denn sie sind durch ihre Eigengravitation von der kosmologischen Expansionsbewegung entkoppelt. Das gilt insbesondere auch für Objekte wie <a href="Stern" title="Stern">Sterne</a> und <a href="Planet" title="Planet">Planeten</a>, die sich innerhalb dieser Systeme befinden, sowie auch für elektromagnetisch gebundene Systeme wie <a href="Atom" title="Atom">Atome</a> und <a href="Molek%C3%BCl" title="Molekül">Moleküle</a>. Einer elektromagnetischen Welle hingegen, die sich frei durch eine sich ausdehnende Raumzeit ausbreitet, wird die Expansionsbewegung direkt aufgeprägt. Expandiert die Raumzeit während der Laufzeit eines Lichtstrahles, so vergrößert sich auch entsprechend die Wellenlänge dieses Lichtstrahles.

Aufgrund der Expansion des Universums findet auch eine kosmologische Zeitdilatation statt. Physikalische Prozesse erscheinen bei rotverschobenen Objekten aus unserer Sicht verlangsamt abzulaufen. Ein bekanntes Beispiel hierfür ist die zunehmende Streckung der <a href="Lichtkurve" title="Lichtkurve">Lichtkurven</a> mit wachsender Rotverschiebung bei <a href="Supernova" title="Supernova">Supernovae</a> vom Typ Ia, deren Ablauf gut verstanden ist.

Der <a href="Sachs-Wolfe-Effekt" title="Sachs-Wolfe-Effekt">Sachs-Wolfe-Effekt</a> erklärt Fluktuationen in der Rotverschiebung der Photonen der kosmischen Hintergrundstrahlung.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zusammenhang_mit_dem_Skalenfaktor">Zusammenhang mit dem Skalenfaktor</h3></div>

Galaxien folgen in sehr guter Näherung den Geodäten der allgemeinen Relativitätstheorie. Diese Geodäten haben für massebehaftete Testkörper im Fall der <a href="Friedmann-Lema%C3%AEtre-Robertson-Walker-Metrik" title="Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Metrik">Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Metrik</a> eine besonders einfache Gestalt.<a href="#cite_note-Fließbach-17">[17]</a> Die raumartigen Koordinaten solcher Galaxien ohne Eigenbewegung bleiben demnach zeitunabhängig. Man betrachte nun zusätzlich ein Photon, das in einer entfernten Galaxie emittiert wurde und zu einem späteren Zeitpunkt dann von einem Beobachter absorbiert wird. Sowohl die Galaxie als auch der Beobachter folgen damit der kosmischen Expansion. Die Bewegung des Photons kann aus Symmetriegründen aus dem vereinfachten <a href="Linienelement" class="mw-redirect" title="Linienelement">Linienelement</a> bestimmt werden:

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=0=-c^{2}\,\mathrm {d} t^{2}+a^{2}(t)\,\mathrm {d} {\bar {r}}^{2},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c92e5581f613e87aa9a9699453b56dc5ec5c5c08.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.685ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=0=-c^{2}\,\mathrm {d} t^{2}+a^{2}(t)\,\mathrm {d} {\bar {r}}^{2},}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.007ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c}" loading="lazy"> die Lichtgeschwindigkeit darstellt,</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bb7931a26b0d360eaf90aa45247d2de5c984d5d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.879ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a(t)}" loading="lazy"> den <a href="Skalenfaktor" title="Skalenfaktor">Skalenfaktor</a> und</li>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\bar {r}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3068f25537e70241a9a83d733c46fe052a905358.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.292ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\bar {r}}}" loading="lazy"> die radiale Koordinate.</li></ul>

Die kosmologische Rotverschiebung wird dann wie folgt berechnet:

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z:={\frac {\lambda _{\mathrm {a} }-\lambda _{\mathrm {e} }}{\lambda _{\mathrm {e} }}}={\frac {a(t_{\mathrm {a} })}{a(t_{\mathrm {e} })}}-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ae6bbef96afcbb305771eaccbc709a6b264d8af0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:26.107ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle z:={\frac {\lambda _{\mathrm {a} }-\lambda _{\mathrm {e} }}{\lambda _{\mathrm {e} }}}={\frac {a(t_{\mathrm {a} })}{a(t_{\mathrm {e} })}}-1}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Indizes a und e stehen dabei für die Emission und Absorption des Photons. Eine Herleitung des Zusammenhanges mit dem Skalenfaktor kann weiter unten nachgelesen werden.

Da für die meisten Zwecke der Absorptionszeitpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t_{\mathrm {a} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t_{\mathrm {a} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b5ebb41c07b6e80f4e492eef81023b1bc37c8670.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.894ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t_{\mathrm {a} }}" loading="lazy"> mit der heutigen Zeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=t_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=t_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/be6d7492e2d48bf34fdd5dffa189b188c140820c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.832ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle t=t_{0}}" loading="lazy"> zusammenfällt und deshalb <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a(t_{0})=1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a(t_{0})=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b58ed1994b4bea79c6d38529fc4018f12f8f21ad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.194ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a(t_{0})=1}" loading="lazy"> gilt, ergibt sich:

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z={\frac {1}{a(t)}}-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/afcbd79bfd980f7600c3467728b6b4457390d2e7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:12.904ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle z={\frac {1}{a(t)}}-1}" loading="lazy"></dd></dl>

Daraus ergibt sich auch der <a href="Skalenfaktor" title="Skalenfaktor">Skalenfaktor</a> des Universums zum Emissionszeitpunkt im Vergleich zum heutigen Wert:

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a={\frac {1}{1+z}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a2e2c425328107a794e6ffe534969a666413abb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:10.255ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle a={\frac {1}{1+z}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Beobachtet man beispielsweise eine Galaxie mit Rotverschiebung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z=3}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z=3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f5954732b20c18e4a4c8998740a32064927aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.349ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle z=3}" loading="lazy">, so hatte das Universum zum Zeitpunkt der Aussendung des von uns empfangenen Lichts nur ein Viertel seiner Größe. Alle physikalischen Prozesse laufen in dieser Galaxie und aus der Sicht des entfernten Beobachters aufgrund der kosmologischen Zeitdilatation um einen Faktor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1+z=4}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+z=4}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6513efd585dbf1281f544dbf6dc2b2ecb75b74ba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.352ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 1+z=4}" loading="lazy"> verlangsamt ab.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Gemeinsames_geometrisches_Konzept">Gemeinsames geometrisches Konzept</h2></div>

Obwohl die oben aufgeführten Effekte in der Literatur meist ohne direkten Bezug zueinander dargestellt werden, können sie doch im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie auf eine allgemeine Formel innerhalb eines gemeinsamen geometrischen Konzeptes zurückgeführt werden.<a href="#cite_note-brill_1972-18">[18]</a><a href="#cite_note-carroll_1997-19">[19]</a> Die einzelnen Effekte stellen dann lediglich Spezialfälle dieser allgemeinen Formel für die Rotverschiebung eines Lichtsignales entlang seiner <a href="Weltlinie" title="Weltlinie">Weltlinie</a> dar.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Voraussetzungen">Voraussetzungen</h3></div>

Die Diskussion der Frequenzverschiebung geht teilweise von Voraussetzungen aus, die oft nicht explizit genannt werden. Sie lassen sich wie folgt beschreiben:

<ul><li>Man nimmt an, dass die <a href="Geometrische_Optik" title="Geometrische Optik">geometrische Optik</a> gültig ist, wobei einer <a href="Elektromagnetische_Welle" title="Elektromagnetische Welle">elektromagnetischen Welle</a> ein <a href="Vektorfeld" title="Vektorfeld">Vektorfeld</a> zugeordnet wird, das in jedem Punkt der Welle auf deren jeweiliger <a href="Wellenfront" title="Wellenfront">Wellenfront</a> (= Fläche konstanter Phase der Welle) senkrecht steht. Dieses Vektorfeld entspricht in jedem Punkt der Ausbreitungsrichtung eines gedachten Lichtstrahls. Die Gültigkeit der geometrischen Optik folgt aus den <a href="Allgemeine_Relativit%C3%A4tstheorie#Mathematische_Beschreibung" title="Allgemeine Relativitätstheorie">Maxwellschen Gleichungen in einer gekrümmten Raumzeit</a>. Eine hier geeignetere Definition erfolgt weiter unten.</li>

<li>Man setzt voraus, dass zwischen der Frequenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c15bbbb971240cf328aba572178f091684585468.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.232ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \nu }" loading="lazy"> und der Wellenlänge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"> mittels <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda \nu =c}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda \nu =c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fafbfb0375fde9274d5429060129539886ee3bf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.693ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda \nu =c}" loading="lazy"> umgerechnet werden kann. Die Rotverschiebung kann dann äquivalent mittels der Wellenlänge oder der Frequenz definiert werden.</li>

<li>Tatsächlich <a href="Spektroskopie" title="Spektroskopie">gemessen</a> wird jedoch weder die Frequenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c15bbbb971240cf328aba572178f091684585468.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.232ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \nu }" loading="lazy"> noch die Wellenlänge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"> der Welle, sondern die Energie einzelner <a href="Photon" title="Photon">Photonen</a>, z. B. mittels des Mößbauer-Effekts. Die Umrechnung zwischen Frequenz und Energie erfolgt vermöge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E=h\nu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E=h\nu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c6c0386dc6d9530519404f95570fcc8548ed2326.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.445ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle E=h\nu }" loading="lazy">.</li></ul>

Ein Lichtstrahl gemäß der geometrischen Optik entspricht dann der Weltlinie eines Photons. Im Folgenden wird die Frequenzverschiebung anhand der Energie von Photonen diskutiert.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Die_beobachtete_Frequenz_als_invariante_Größe">Die beobachtete Frequenz als invariante Größe</h3></div>

Zum Verständnis benötigt man die Unterscheidung der Abhängigkeit physikalischer Größen von Koordinaten sowie von Beobachtern. Beides wird leider häufig verwechselt.

In der speziellen Relativitätstheorie entspricht die Energie eines Photons in einem bestimmten Koordinatensystem der Null-Komponente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p^{0}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p^{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/92a2e2fda83d61a09cadf00ac7a1e4545d7584b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.313ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle p^{0}}" loading="lazy"> seines Viererimpulses <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p=(p^{0},p^{i})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=(p^{0},p^{i})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6e7cba12c83076aa5e11430326b8e824c5d483ec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:11.393ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle p=(p^{0},p^{i})}" loading="lazy">. In diesem Koordinatensystem berechnet sich die Energie, die ein Beobachter mit Vierergeschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u=(c,0)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u=(c,0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b938035583413fc37c0abb2285b4732371fb9cb7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.441ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u=(c,0)}" loading="lazy"> einem Photon zuschreibt, zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{u}(p)=u_{\mu }p^{\mu }=\eta _{\mu \nu }u^{\mu }p^{\nu }=cp^{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{u}(p)=u_{\mu }p^{\mu }=\eta _{\mu \nu }u^{\mu }p^{\nu }=cp^{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9192b91e84f230c59ebdb4a6d79d979d8f85cfaa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:31.414ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle E_{u}(p)=u_{\mu }p^{\mu }=\eta _{\mu \nu }u^{\mu }p^{\nu }=cp^{0}}" loading="lazy">. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e4d701857cf5fbec133eebaf94deadf722537f64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.169ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \eta }" loading="lazy"> bezeichnet dabei die <a href="Minkowski-Raum" title="Minkowski-Raum">Minkowski-Metrik</a>. Diese Definition kann unmittelbar auf die allgemeine Relativitätstheorie erweitert werden:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{u}(p)=g_{\mu \nu }u^{\mu }p^{\nu }=:\langle u,p\rangle _{g}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/646a9321caeec934b08cca4393aa0ee7a590c9d6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:27.104ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E_{u}(p)=g_{\mu \nu }u^{\mu }p^{\nu }=:\langle u,p\rangle _{g}}" loading="lazy"></dd></dl>

Dabei entspricht <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> einer allgemeinen <a href="Allgemeine_Relativit%C3%A4tstheorie#Metriken" title="Allgemeine Relativitätstheorie">Riemannschen Metrik</a> zur Beschreibung der Raumzeit. Die zuletzt eingeführte Notation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle u,p\rangle _{g}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle u,p\rangle _{g}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/863e2ce887a4580f2dc688a60011f8b5aa984d36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:6.364ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \langle u,p\rangle _{g}}" loading="lazy"> betont, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{u}(p)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{u}(p)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0c10177a611135c4d6037e234937913023a66b48.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.866ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E_{u}(p)}" loading="lazy"> als <a href="Projektion_(Lineare_Algebra)" class="mw-redirect" title="Projektion (Lineare Algebra)">Projektion</a> des Viererimpulses <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> auf die Vierergeschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle u}" loading="lazy"> eines Beobachters in einer durch die Metrik <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> charakterisierten Raumzeit eine invariante Größe darstellt, d. h., sie hängt nur von den geometrischen Größen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u,p,g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u,p,g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/589819473ce0a40f77997423e50eaef81a6178df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.683ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle u,p,g}" loading="lazy"> ab, ist jedoch unabhängig von einer speziellen Wahl des Koordinatensystems – Koordinatentransformationen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p^{\mu }\to {\bar {p}}^{\mu }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p^{\mu }\to {\bar {p}}^{\mu }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65e0125849c68654c9dec396d687a20183dc0426.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:8.679ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle p^{\mu }\to {\bar {p}}^{\mu }}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u^{\mu }\to {\bar {u}}^{\mu }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u^{\mu }\to {\bar {u}}^{\mu }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8eb0925a11547697387a444b7519f3142ba8794b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.72ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle u^{\mu }\to {\bar {u}}^{\mu }}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{\mu \nu }\to {\bar {g}}_{\mu \nu }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{\mu \nu }\to {\bar {g}}_{\mu \nu }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1213389704b9cfd2126dc6bf948497dabdce3150.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:10.144ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g_{\mu \nu }\to {\bar {g}}_{\mu \nu }}" loading="lazy"> ändern die Größe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{u}(p)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{u}(p)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0c10177a611135c4d6037e234937913023a66b48.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.866ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E_{u}(p)}" loading="lazy"> nicht.

Dies entspricht dem <a href="Relativit%C3%A4tsprinzip#Allgemeines_Relativitätsprinzip" title="Relativitätsprinzip">allgemeinen Relativitätsprinzip</a> bzw. der Forderung nach allgemeiner Kovarianz, wonach nach Einstein Naturgesetze durch Gleichungen zu formulieren sind, die in allen Koordinatensysteme gleichermaßen gelten, was hier sichergestellt ist, da die Definition überhaupt kein Koordinatensystem benötigt.

Die Beobachterabhängigkeit der so definierten Energie erkennt man anhand der Einführung eines neuen Beobachters mit neuer Vierergeschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2b5855eefa1e5c167320e2fb16e432c4931b166.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle u_{2}}" loading="lazy"> und der daraus folgenden Energie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{u_{2}}(p)=\langle u_{2},p\rangle _{g}}">

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{u_{2}}(p)=\langle u_{2},p\rangle _{g}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a0fdce94f20192c79acabdcf63d4c2e37a02502b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:17.214ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E_{u_{2}}(p)=\langle u_{2},p\rangle _{g}}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.116ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g}" loading="lazy"> nicht transformiert werden. Es liegt je Beobachter eine beobachterspezifische, aber unter Koordinatentransformationen invariante Größe vor.

Die Frequenzverschiebung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.088ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle z}" loading="lazy"> für ein Photon wird nun direkt mittels dieser Messgrößen definiert als

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+z_{12}={\frac {E_{u_{1}}(p_{1})}{E_{u_{2}}(p_{2})}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b766d7c175748123ac3940ee40c8842b05423c8c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:18.647ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle 1+z_{12}={\frac {E_{u_{1}}(p_{1})}{E_{u_{2}}(p_{2})}}}" loading="lazy"></dd></dl>

und ist damit ebenfalls eine invariante Größe, die nun von zwei Beobachtern abhängt. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{1,2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{1,2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b14d10917ed5ae930df558c00304220540c1033.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; margin-left: -0.089ex; width:3.592ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle p_{1,2}}" loading="lazy"> bezeichnet dabei die Viererimpulse an den Orten von Beobachter 1 bzw. 2. Die Frequenzverschiebung ist somit nie eine rein intrinsische Eigenschaft des Photons, sondern hängt immer von den gewählten Beobachtern und im Allgemeinen auch von der genauen Bahn der Photonen zwischen den beiden Beobachtern ab. Diese Eigenschaft wird in der Literatur oftmals nicht explizit erwähnt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Die_beobachteten_Frequenzen_entlang_lichtartiger_Weltlinien">Die beobachteten Frequenzen entlang lichtartiger Weltlinien</h3></div>

Den Zusammenhang zwischen den beiden Viererimpulsen des Photons an den beiden Orten räumlich getrennter Beobachter erhält man mittels der <a href="Allgemeine_Relativit%C3%A4tstheorie#Mathematische_Beschreibung" title="Allgemeine Relativitätstheorie">Geodätengleichung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nabla _{v}v=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla _{v}v=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/78005186ed83b519dc8ad40371c9595fc2e108d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.354ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \nabla _{v}v=0}" loading="lazy">. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nabla _{v}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla _{v}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35a0fa26a6a86bef88d070b1f93d63e7ef19dcba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.965ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \nabla _{v}}" loading="lazy"> bezeichnet dabei die <a href="Zusammenhang_(Differentialgeometrie)" title="Zusammenhang (Differentialgeometrie)">kovariante Richtungsableitung</a>. Die Vierergeschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v}" loading="lazy"> des Photons ist lichtartig, d. h. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle v,v\rangle =0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle v,v\rangle =0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45b66779cf0226113a6a191c3674fafc04cab441.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.359ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle v,v\rangle =0}" loading="lazy">. Sie entspricht dem lichtartigen Tangentenvektor an die Weltlinie des Photons. Der Viererimpuls ist ebenfalls lichtartig (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle p,p\rangle =0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle p,p\rangle =0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8aefb1027546c82b205cb47b272da5c8a7151c0a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.443ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle p,p\rangle =0}" loading="lazy">) und proportional zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v}" loading="lazy">. Photonen mit derselben Weltlinie, jedoch unterschiedlichem Viererimpuls, haben im selben Punkt der Weltlinie also eine identische Vierergeschwindigkeit.

Die Abhängigkeit des Viererimpulses <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p^{\mu }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p^{\mu }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c408c887ff872b0832f55d2b9088ea1f0a1a3832.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.482ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle p^{\mu }}" loading="lazy"> von den vier Koordinaten und damit vom Punkt auf der Geodäte ergibt sich durch Lösen der Gleichung des <a href="Paralleltransport" title="Paralleltransport">Paralleltransports</a> entlang derselben. Diese Gleichung lautet in koordinatenfreier Schreibweise:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nabla _{v}p=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c937762a75376f7ab4e8cd012e7eb5f6adeb8033.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.396ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \nabla _{v}p=0}" loading="lazy"></dd></dl>

Bei Verwendung von Koordinaten ergibt sich daraus eine <a href="Gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung" title="Gewöhnliche Differentialgleichung">gewöhnliche Differentialgleichung</a> erster Ordnung für die Komponenten des Viererimpulses <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p^{\mu }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p^{\mu }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c408c887ff872b0832f55d2b9088ea1f0a1a3832.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.482ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle p^{\mu }}" loading="lazy"> in Abhängigkeit von einem Bahnparameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy">. Diese Gleichung kann also mit der Anfangsbedingung für den Viererimpuls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b9b58f22283ca46dd5da309cc34303b06a797783.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:2.313ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{1}}" loading="lazy"> am Ort 1 gelöst werden, um den Viererimpuls an einem beliebigen Ort auf der Geodäte zu berechnen. Die gesuchte Lösung für die Parallelverschiebung des Viererimpulses des Lichtsignales kann auch vergleichbar dem Vorgehen in der <a href="Quantenmechanik" title="Quantenmechanik">Quantenmechanik</a> mit Hilfe eines Zeitentwicklungsoperators formuliert werden:<a href="#cite_note-carroll_1997-19">[19]</a>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p^{\mu }(\lambda )=P_{\rho }^{\mu }(\lambda ,\lambda _{0})p_{1}^{\rho }(\lambda _{0})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ecaa5908c72b68912f05ae07618ea399b4c10371.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; margin-left: -0.089ex; width:24.868ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle p^{\mu }(\lambda )=P_{\rho }^{\mu }(\lambda ,\lambda _{0})p_{1}^{\rho }(\lambda _{0})}" loading="lazy">.</dd></dl>

Dies kann bei der Berechnung der Rotverschiebung verwendet werden, denn am Ort des Beobachters 2 gilt für die Energie nun:

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{u_{2}}(p_{2})=\langle u_{2},Pp_{1}\rangle _{g}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/03a90fdd8b0e955daa97691fa88bf43fdb10c1df.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:21.068ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E_{u_{2}}(p_{2})=\langle u_{2},Pp_{1}\rangle _{g}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Spezialfälle">Spezialfälle</h3></div>

Die oben genannten Fälle stellen wichtige Spezialfälle dar: Die optische Doppler-Verschiebung folgt für eine flache Raumzeit, d. h. für die Minkowski-Metrik. Für die gravitative Frequenzverschiebung betrachtet man die Schwarzschild-Metrik sowie zwei stationäre Beobachter bei unterschiedlichen Radien, also Höhen, im Gravitationsfeld. Bei satellitengestützten Tests der Rotverschiebung müssen die Vierergeschwindigkeiten berücksichtigt werden. Die kosmologische Rotverschiebung erhält man für mitbewegte Beobachter in einem <a href="Friedmann-Modell" title="Friedmann-Modell">Friedmann-Modell</a>. Hier sind <a href="Pekuliargeschwindigkeit" title="Pekuliargeschwindigkeit">Pekuliargeschwindigkeiten</a> zu berücksichtigen, wenn Quelle (z. B. eine Supernova, ein Quasar) oder Empfänger (die Erde, ein weltraumgestütztes Messgerät) nicht mitbewegt sind.

Die Herleitungen entsprechen im Wesentlichen Lösungen des Paralleltransports in der jeweiligen Raumzeit entlang spezieller Geodäten und für speziell gewählte Beobachter.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Rot-_und_Blauverschiebung_durch_relative_Bewegung_2">Rot- und Blauverschiebung durch relative Bewegung</h4></div>

Der einfachste Spezialfall entspricht einer flachen Raumzeit mit Minkowski-Metrik <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \eta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \eta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e4d701857cf5fbec133eebaf94deadf722537f64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.169ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \eta }" loading="lazy">.

Für zwei Beobachter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=1,2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=1,2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2ec6def2dff5fd28c946c4f0d6c7a860b673b198.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.455ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle b=1,2}" loading="lazy"> mit Dreiergeschwindigkeiten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {u}}_{b}=v_{b}{\hat {e}}_{b}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {u}}_{b}=v_{b}{\hat {e}}_{b}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e7b5b08def1729e6b27e9f8171d0a01cd79d051b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.66ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {u}}_{b}=v_{b}{\hat {e}}_{b}}" loading="lazy">, d. h. zeitartigen Vierergeschwindigkeiten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{b}=\gamma _{b}(c,v_{b}{\hat {e}}_{b})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{b}=\gamma _{b}(c,v_{b}{\hat {e}}_{b})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f7ba7d0902b9422855e0d9d0f5640a43fd77a579.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.652ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle u_{b}=\gamma _{b}(c,v_{b}{\hat {e}}_{b})}" loading="lazy"> und ein Photon mit lichtartigem Viererimpuls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p=p^{0}(1,{\hat {e}})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=p^{0}(1,{\hat {e}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b76b59fa3a63a2c1c12811d18fa9ef3401c77481.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:11.878ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle p=p^{0}(1,{\hat {e}})}" loading="lazy"> folgt aufgrund der flachen Raumzeit wegen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{2}=p_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{2}=p_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/402eb4756c9faeecd6c996e4913289882577d1a8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:7.635ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p_{2}=p_{1}}" loading="lazy"> für die Energie

<msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{u_{b}}(p_{b})=p^{0}\,\gamma _{b}(c-v_{b}\cos \theta _{b})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b3dfc692287ec0698b15b94980a30218b32b2030.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:29.027ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle E_{u_{b}}(p_{b})=p^{0}\,\gamma _{b}(c-v_{b}\cos \theta _{b})}" loading="lazy"></dd></dl>

und mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{b}=v_{b}/c}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{b}=v_{b}/c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a1e76b85cd5c0cff295322ddfa8cbc6722f46c99.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.586ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \beta _{b}=v_{b}/c}" loading="lazy"> für die Rotverschiebung

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+z_{12}={\frac {\gamma _{1}(1-\beta _{1}\cos \theta _{1})}{\gamma _{2}(1-\beta _{2}\cos \theta _{2})}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b75518b445220121683580f09c407c0497775816.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:27.365ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle 1+z_{12}={\frac {\gamma _{1}(1-\beta _{1}\cos \theta _{1})}{\gamma _{2}(1-\beta _{2}\cos \theta _{2})}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Dabei gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\leq \beta _{b}<1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\leq \beta _{b}<1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/04f9359f2ec66710f37ef2516691d7fc7fe3464a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.775ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0\leq \beta _{b}<1}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {e}}\,{\hat {e}}_{b}=\cos \theta _{b}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {e}}\,{\hat {e}}_{b}=\cos \theta _{b}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32946fa62e628f329f1f832ace78fc44729ce6bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.533ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {e}}\,{\hat {e}}_{b}=\cos \theta _{b}}" loading="lazy">. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta _{b}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta _{b}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fb0153b45618da7666799f6b44280fdc78650123.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.028ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \theta _{b}}" loading="lazy"> steht für den Winkel zwischen den Bewegungsrichtungen von Photon und Beobachter.

Nimmt man Beobachter 1 als ruhend bzgl. der Quelle an, so wird der Zähler des Bruchs gleich 1, d. h.:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+z_{12}={\frac {1}{\gamma _{2}(1-\beta _{2}\cos \theta _{2})}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1c33bb0fa3027a4dce30c41c26dc5deb4883d22f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:27.365ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle 1+z_{12}={\frac {1}{\gamma _{2}(1-\beta _{2}\cos \theta _{2})}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Im Falle der parallelen bzw. antiparallelen Bewegung von Beobachter 2 und Photon gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta _{2}=0^{\circ },180^{\circ }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta _{2}=0^{\circ },180^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/081747ab7af6cc5be506549e54f78fbc815704bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.035ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \theta _{2}=0^{\circ },180^{\circ }}" loading="lazy">, d. h. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{2}\cos \theta _{2}=\pm \beta _{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{2}\cos \theta _{2}=\pm \beta _{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ec43fa80a76dfaaff9960c211f1559cc09a777f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.677ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{2}\cos \theta _{2}=\pm \beta _{2}}" loading="lazy"> und somit:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msqrt>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</msqrt>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+z_{12}={\frac {\sqrt {1-\beta _{2}^{2}}}{\gamma _{2}(1\mp \beta _{2})}}={\sqrt {\frac {1\pm \beta _{2}}{1\mp \beta _{2}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ab29a54db0ac09fb025b833bba59831488a89390.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:33.967ex; height:9.009ex;" alt="{\displaystyle 1+z_{12}={\frac {\sqrt {1-\beta _{2}^{2}}}{\gamma _{2}(1\mp \beta _{2})}}={\sqrt {\frac {1\pm \beta _{2}}{1\mp \beta _{2}}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Diese Frequenzänderung wird auch longitudinaler <a href="Dopplereffekt" class="mw-redirect" title="Dopplereffekt">Dopplereffekt</a> genannt.

Im Falle einer Bewegung von Beobachter 2 orthogonal zum Photon gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta _{2}=90^{\circ },270^{\circ }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta _{2}=90^{\circ },270^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7851bd96a78233c74e8b041045eefaed780018f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.198ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \theta _{2}=90^{\circ },270^{\circ }}" loading="lazy">, d. h. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta _{2}\cos \theta _{2}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta _{2}\cos \theta _{2}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/50fcd7c1a0fdff6a42e17756393378d61666bd49.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.661ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta _{2}\cos \theta _{2}=0}" loading="lazy"> und somit:

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+z_{12}={\frac {1}{\gamma _{2}}}={\sqrt {1-\beta _{2}^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4e0c861aadb53175dcff948402785772a58f33c2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:24.97ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle 1+z_{12}={\frac {1}{\gamma _{2}}}={\sqrt {1-\beta _{2}^{2}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Diese Frequenzänderung wird auch transversaler Dopplereffekt genannt.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Gravitative_Rot-_und_Blauverschiebung_2">Gravitative Rot- und Blauverschiebung</h4></div>

Dieser Spezialfall wird für eine sphärisch symmetrische Raumzeit durch die <a href="Schwarzschild-Metrik" title="Schwarzschild-Metrik">Schwarzschild-Metrik</a> beschrieben. Ferner werden zwei stationäre Beobachter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=1,2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=1,2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2ec6def2dff5fd28c946c4f0d6c7a860b673b198.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.455ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle b=1,2}" loading="lazy"> bei den Radien <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{S}<r_{1}<r_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{S}<r_{1}<r_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d1784451c598932be40319709e9985a42e22d03a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.744ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle r_{S}<r_{1}<r_{2}}" loading="lazy"> betrachtet, die durch eine radiale, lichtartige Weltlinie verbunden sind.

Weil keine Bewegung in raumartiger Richtung vorliegt, ergeben sich die Vierergeschwindigkeiten wie folgt aus dem Linienelement

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} s_{b}^{2}=c^{2}\,\mathrm {d} \tau _{b}^{2}=f(r_{b})\,c^{2}\,\mathrm {d} t_{b}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dffff4f05a59f576876ea9bd5b863f7ba04b67.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:26.783ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} s_{b}^{2}=c^{2}\,\mathrm {d} \tau _{b}^{2}=f(r_{b})\,c^{2}\,\mathrm {d} t_{b}^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(r)=\left(1-{\frac {r_{S}}{r}}\right)}">

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(r)=\left(1-{\frac {r_{S}}{r}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4d5f66876d4f4d1ed8852c163cf0b48ab0114cbc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:17.19ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle f(r)=\left(1-{\frac {r_{S}}{r}}\right)}" loading="lazy">. Es gilt also

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<msqrt>

<msub>

</mrow>

</msub>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u^{\mu }(r_{b})=\left({\frac {c\ \mathrm {d} t_{b}}{\mathrm {d} \tau _{b}}},0,0,0\right)={\frac {1}{\sqrt {f(r_{b})}}}(c,0,0,0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/31864673787869e4467732967b034eb3c252a9c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:45.689ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle u^{\mu }(r_{b})=\left({\frac {c\ \mathrm {d} t_{b}}{\mathrm {d} \tau _{b}}},0,0,0\right)={\frac {1}{\sqrt {f(r_{b})}}}(c,0,0,0)}" loading="lazy">.</dd></dl>

Aufgrund der lichtartigen Vierergeschwindigkeit des Photons folgt aus dem Linienelement und der zugehörigen Geodätengleichung

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=0=f(r)\,c^{2}\,\mathrm {d} t^{2}-{\frac {1}{f(r)}}\,\mathrm {d} r^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7873cba7c384ff6c6862ceac349f23ed1cddfd36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:32.55ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=0=f(r)\,c^{2}\,\mathrm {d} t^{2}-{\frac {1}{f(r)}}\,\mathrm {d} r^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

der aus- bzw. einlaufende Viererimpuls zu

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p^{\mu }=F\left({\frac {1}{f(r)}},\pm {\hat {e}}_{r}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1f4a74552635c0a8e3be7ee08d81f5a05a8125c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; margin-left: -0.089ex; width:21.21ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle p^{\mu }=F\left({\frac {1}{f(r)}},\pm {\hat {e}}_{r}\right)}" loading="lazy">.</dd></dl>

Mit Hilfe der Geodätengleichungen kann gezeigt werden, dass der aus der Anfangsbedingung des Paralleltransports stammende Faktor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> eine Konstante ist.<a href="#cite_note-Fließbach-17">[17]</a><a href="#cite_note-carroll_1997-19">[19]</a> Damit ist

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{u}(p)=\langle u_{b},p\rangle _{g}={\frac {cF}{\sqrt {f(r)}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c1d5c801662c68a525cde3b870733efeca62b5bf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:26.661ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle E_{u}(p)=\langle u_{b},p\rangle _{g}={\frac {cF}{\sqrt {f(r)}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

und es folgt das oben angegebene Endergebnis:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+z_{12}={\sqrt {\frac {f(r_{2})}{f(r_{1})}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a62acb4e6ff860a438980a1d30f593cf6f2720c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:18.409ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle 1+z_{12}={\sqrt {\frac {f(r_{2})}{f(r_{1})}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Kombinierte_gravitative_Frequenz-_und_Dopplerverschiebung">Kombinierte gravitative Frequenz- und Dopplerverschiebung</h4></div>

Im <a href="Pound-Rebka-Experiment" title="Pound-Rebka-Experiment">Pound-Rebka-Experiment</a> wurde die gravitative Frequenzverschiebung indirekt ermittelt. Durch Kombination einer variabel bewegten Quelle 1 für Röntgenstrahlung mit einem fest montierten Absorber 2 wurde die Geschwindigkeit der Quelle so bestimmt, dass keine Frequenzverschiebung auftrat, d. h., dass sich die Effekte der gravitativen Frequenz- und der Dopplerverschiebung gerade kompensierten.

Aus dem Linienelement <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=f\,c^{2}\,\mathrm {d} t_{b}^{2}-f^{-1}\,\mathrm {d} r^{2}}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=f\,c^{2}\,\mathrm {d} t_{b}^{2}-f^{-1}\,\mathrm {d} r^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1773e6a08228988f3c96bffb057b776522794842.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:24.112ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=f\,c^{2}\,\mathrm {d} t_{b}^{2}-f^{-1}\,\mathrm {d} r^{2}}" loading="lazy"> und den Bedingungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle u,u\rangle =c^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle u,u\rangle =c^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9112a88bd4d61ed94d8b33b3670ca1c0820b566f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.662ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \langle u,u\rangle =c^{2}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle p,p\rangle =0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle p,p\rangle =0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8aefb1027546c82b205cb47b272da5c8a7151c0a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.443ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle p,p\rangle =0}" loading="lazy"> sowie der Definition

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w={\frac {f^{-1/2}\,{\mathrm {d} r}}{\mathrm {d} \tau }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/772e46121ca26411e1eb4c67f234d06ae469826c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:13.624ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle w={\frac {f^{-1/2}\,{\mathrm {d} r}}{\mathrm {d} \tau }}}" loading="lazy"></dd></dl>

folgt die Energie zu

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{u(w)}(p)=\langle u(w),p\rangle _{g}=\left({\sqrt {1+w^{2}}}-w\right)\,{\sqrt {f}}\,c\ p^{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06a048713b9f1af1dc296f5b37071c48ba4e4229.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:49.256ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle E_{u(w)}(p)=\langle u(w),p\rangle _{g}=\left({\sqrt {1+w^{2}}}-w\right)\,{\sqrt {f}}\,c\ p^{0}}" loading="lazy">.</dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle w}" loading="lazy"> entspricht dabei der Geschwindigkeit, gemessen durch einen stationären Beobachter am Ort des bewegten Objektes. Für den vorliegenden Fall gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w^{2}\simeq 0}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w^{2}\simeq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c9739052cca7554a087a1649d38c0d0e6401a030.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.979ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle w^{2}\simeq 0}" loading="lazy">; dies entspricht Rotverschiebungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z\ll 1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z\ll 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a1739411be4d4884cedaa0d9707bc4d94a60a4c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.865ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle z\ll 1}" loading="lazy">.

Die gewünschte Messgröße ist die rein gravitative Frequenzverschiebung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1+z_{12}^{\text{grav.}}={\frac {E_{1,w=0}}{E_{2,w=0}}}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+z_{12}^{\text{grav.}}={\frac {E_{1,w=0}}{E_{2,w=0}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f7619a453a38193eb6f997e26eb601d4edd78e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:19.378ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle 1+z_{12}^{\text{grav.}}={\frac {E_{1,w=0}}{E_{2,w=0}}}}" loading="lazy"> für verschwindende Geschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9bb71c9fa0018f0752a2384a7ab9f1c2b628771e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.925ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle w=0}" loading="lazy"> (vgl. voriger Abschnitt).

Die tatsächliche Messgröße ist jedoch die Geschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle w}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.664ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle w}" loading="lazy"> der Quelle, bei der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{1,w}=E_{2,w=0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{1,w}=E_{2,w=0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/472f47a05e70ed0aa3bceecdffc3c0f3ee865c06.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.006ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle E_{1,w}=E_{2,w=0}}" loading="lazy"> gilt, d. h., bei der gerade keine Verschiebung auftritt. Aus dieser Bedingung folgt

<msqrt>

<msub>

</mrow>

</msub>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msqrt>

<msub>

</mrow>

</msub>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1-w)\,{\sqrt {f(r_{1})}}\,p_{1}^{0}={\sqrt {f(r_{2})}}\,p_{2}^{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/11fecc186366eabc381449ebc06bea2788d3da50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:31.212ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle (1-w)\,{\sqrt {f(r_{1})}}\,p_{1}^{0}={\sqrt {f(r_{2})}}\,p_{2}^{0}}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{1,2}^{0}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{1,2}^{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b5de3fad2c3c7d0b63c82b9838c723797b8e007e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; margin-left: -0.089ex; width:3.592ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle p_{1,2}^{0}}" loading="lazy"> wieder für die Größen am Ort des jeweiligen Beobachters <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=1,2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=1,2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2ec6def2dff5fd28c946c4f0d6c7a860b673b198.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.455ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle b=1,2}" loading="lazy"> stehen. Zuletzt erhält man die indirekt gemessene gravitative Rotverschiebung

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+z_{12}^{\text{grav.}}(w)={\frac {1}{1-w}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f4044d79872e4590fc155f95ba78c46fe3071f27.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:22.014ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle 1+z_{12}^{\text{grav.}}(w)={\frac {1}{1-w}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Kosmologische_Rotverschiebung_2">Kosmologische Rotverschiebung</h4></div>

Bei diesem Spezialfall wird die Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Metrik verwendet. Die Rechnung ist für einen beliebigen Krümmungsparameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> gültig und enthält damit auch das Standardmodell der Kosmologie, wo <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6307c8a99dad7d0bcb712352ae0a748bd99a038b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.472ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k=0}" loading="lazy"> gilt. Das Linienelement lautet:

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=c^{2}\,\mathrm {d} t^{2}-a^{2}(t)\left(\mathrm {d} {\bar {r}}^{2}+f({\bar {r}})^{2}\,\mathrm {d} \Omega ^{2}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1ffe8fc76e1d8181652cd93935521731f4d1560a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:38.785ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=c^{2}\,\mathrm {d} t^{2}-a^{2}(t)\left(\mathrm {d} {\bar {r}}^{2}+f({\bar {r}})^{2}\,\mathrm {d} \Omega ^{2}\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

Wie bereits oben erwähnt, werden stationäre Beobachter in diesem Fall durch konstante raumartige Koordinatenwerte beschrieben. Beide Beobachter sollen wie im vorigen Abschnitt durch den Index <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=1,2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=1,2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2ec6def2dff5fd28c946c4f0d6c7a860b673b198.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.455ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle b=1,2}" loading="lazy"> gekennzeichnet werden. Beide Beobachter werden dann wie bei den anderen Spezialfällen durch eine lichtartige Weltlinie verbunden. Bei der Bewegung dieses Lichtsignales braucht in den nachfolgenden Rechnungen aus Symmetriegründen nur die radiale Koordinate <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\bar {r}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\bar {r}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3068f25537e70241a9a83d733c46fe052a905358.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.292ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\bar {r}}}" loading="lazy"> berücksichtigt zu werden. Weil bei den beiden Beobachtern überhaupt keine Bewegung in raumartiger Richtung vorliegt, ergeben sich die Vierergeschwindigkeiten wie folgt aus dem Linienelement:

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} s_{b}^{2}=c^{2}\,\mathrm {d} \tau _{b}^{2}=c^{2}\,\mathrm {d} t^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/95727db663eb76f7342de573df478d31457e9eb4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:21.321ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} s_{b}^{2}=c^{2}\,\mathrm {d} \tau _{b}^{2}=c^{2}\,\mathrm {d} t^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

Daraus ergibt sich

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{b}^{\mu }=\left({\frac {c\ \mathrm {d} t_{b}}{\mathrm {d} \tau _{b}}},0\right)=(c,0)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a54117b98d313d081cd908ca52a954029adeecec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:24.874ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle u_{b}^{\mu }=\left({\frac {c\ \mathrm {d} t_{b}}{\mathrm {d} \tau _{b}}},0\right)=(c,0)}" loading="lazy">.</dd></dl>

Aufgrund der lichtartigen Vierergeschwindigkeit des Photons folgt aus dem Linienelement

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=0=c^{2}\,\mathrm {d} t^{2}-a^{2}(t)\,\mathrm {d} {\bar {r}}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6a19c4ff3fe39b2775a7fb3e5881563e1aa8187a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.23ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=0=c^{2}\,\mathrm {d} t^{2}-a^{2}(t)\,\mathrm {d} {\bar {r}}^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

der Paralleltransport für die 0-Komponente des Photonimpulses, hier ausgedrückt in der Koordinate <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy">, zu

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}p^{0}+A(t)\,p^{0}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85eb19f463fa5ad9b35e227693eab91e7ffc5d48.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:19.296ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}p^{0}+A(t)\,p^{0}=0}" loading="lazy">.</dd></dl>

Dabei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A(t)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\ln a(t)={\frac {{\dot {a}}(t)}{a(t)}}}">

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A(t)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\ln a(t)={\frac {{\dot {a}}(t)}{a(t)}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/55dc4c897652dad280f076949294ffc2d35711a3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:24.864ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle A(t)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\ln a(t)={\frac {{\dot {a}}(t)}{a(t)}}}" loading="lazy">. Aufgrund der besonderen Symmetrie der Metrik kann in diesem Fall der Propagator für die Parallelverschiebung besonders einfach berechnet werden.<a href="#cite_note-carroll_1997-19">[19]</a> Es gilt

<msub>

</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(\lambda ,\lambda _{0})={\mathcal {P}}\exp \left(-\int _{\lambda _{0}}^{\lambda }A(t)\,\mathrm {d} t\right)=\exp \left(-\int _{\lambda _{0}}^{\lambda }A\,\mathrm {d} t\right)={\frac {1}{a}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1fe27620fc4fb0e5050f1efe1a5393c9b749ac9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:59.4ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle P(\lambda ,\lambda _{0})={\mathcal {P}}\exp \left(-\int _{\lambda _{0}}^{\lambda }A(t)\,\mathrm {d} t\right)=\exp \left(-\int _{\lambda _{0}}^{\lambda }A\,\mathrm {d} t\right)={\frac {1}{a}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Aus der Anfangsbedingung ergibt sich erneut eine Konstante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy">

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p^{0}(t)={\frac {F}{a(t)}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a40b6d9be3c76ad14183ae4eabaeb1e8a06c9179.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; margin-left: -0.089ex; width:12.775ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle p^{0}(t)={\frac {F}{a(t)}}}" loading="lazy"></dd></dl>

und der Viererimpuls des Photons zu

<msup>

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</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p^{\mu }=F\,\left({\frac {1}{a(t)}},{\frac {1}{a^{2}(t)}}{\hat {e}}_{\bar {r}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f2c844b01010dda17afa274824a1314486528089.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; margin-left: -0.089ex; width:25.51ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle p^{\mu }=F\,\left({\frac {1}{a(t)}},{\frac {1}{a^{2}(t)}}{\hat {e}}_{\bar {r}}\right)}" loading="lazy">.</dd></dl>

Damit gilt:

<msub>

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</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{u}(p)=\langle u_{b},p\rangle _{g}={\frac {cF}{a(t)}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a9c4f8fd5ed75e6dcc98697ce84c6dd63562928c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:24.08ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle E_{u}(p)=\langle u_{b},p\rangle _{g}={\frac {cF}{a(t)}}}" loading="lazy"></dd></dl>

und es folgt wie oben der gesuchte Zusammenhang zwischen der gemessenen Rotverschiebung und dem Wert des Skalenfaktors:

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</msub>

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<mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+z_{12}={\frac {a(t_{2})}{a(t_{1})}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b77386c0b5e67ccb8f2055c814cd19da1b5a465.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:15.828ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle 1+z_{12}={\frac {a(t_{2})}{a(t_{1})}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Kombinierte_kosmologische_Rotverschiebung_mit_Pekuliargeschwindigkeit">Kombinierte kosmologische Rotverschiebung mit Pekuliargeschwindigkeit</h4></div>

Wird an einem astronomischen Objekt, das zusätzlich eine Pekuliargeschwindigkeit besitzt, eine Rotverschiebung gemessen, ergibt sich mit den Abkürzungen

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</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v=a(t)\left({\frac {\mathrm {d} {\bar {r}}}{\mathrm {d} t}}\right),\quad \gamma =\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-1/2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c727b5a174774af500d0d75b53e9799f7e48a9a6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:37.856ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle v=a(t)\left({\frac {\mathrm {d} {\bar {r}}}{\mathrm {d} t}}\right),\quad \gamma =\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-1/2}}" loading="lazy"></dd></dl>

die Vierergeschwindigkeit des emittierenden Objektes zu

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</mrow>

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</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{1}^{\mu }=\gamma \left(c,{\frac {v}{a(t_{1})}}{\hat {e}}_{\bar {r}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2ab44c49e5dd85af2f240201ce2cd97e666e21f5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:21.007ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle u_{1}^{\mu }=\gamma \left(c,{\frac {v}{a(t_{1})}}{\hat {e}}_{\bar {r}}\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

und

<msub>

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<mfrac>

<mrow>

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</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{u}(p)=\langle u_{1},p\rangle _{g}=\gamma {\frac {F}{a(t)}}(c-v)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/889dbc046e70c0d9a59edf6ea027b0ff41ceaea6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:32.243ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle E_{u}(p)=\langle u_{1},p\rangle _{g}=\gamma {\frac {F}{a(t)}}(c-v)}" loading="lazy">.</dd></dl>

Analog wie oben folgt dann:

<msub>

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<mrow>

</mrow>

<mrow>

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</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+z_{12}={\frac {a(t_{2})}{a(t_{1})}}{\sqrt {\frac {1+\beta }{1-\beta }}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d78b7ca500a2db48d861a1ad4a3d60a7a4f54cfa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:24.323ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle 1+z_{12}={\frac {a(t_{2})}{a(t_{1})}}{\sqrt {\frac {1+\beta }{1-\beta }}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Das Vorzeichen der Pekuliargeschwindigkeit wurde dabei so gewählt, dass eine positive Pekuliargeschwindigkeit zu einer Erhöhung der Rotverschiebung führt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zusammenfassung">Zusammenfassung</h3></div>

Alle gezeigten Spezialfälle sowie Kombinationen davon folgen aus einem gemeinsamen geometrischen Konzept. Die Erklärung der Effekte bedient sich dabei ausschließlich mathematischer Größen aus der allgemeinen Relativitätstheorie sowie lokaler Messgrößen, hier Energien und Geschwindigkeiten. Anschauliche Interpretationen wie „Dehnung der Wellenlänge“, „Expansion des Raumes“ usw. können für ein anschauliches Verständnis sinnvoll sein, sind jedoch nicht zwingend notwendig.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Bathochromer_Effekt" title="Bathochromer Effekt">Bathochromer Effekt</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Stuart Clark: Redshift. Univ. of Hertfordshire Press, Hatfield 1997, ISBN 0-900458-79-8.</li>

<li>George B. Field: The redshift controversy. Addison-Wesley, Redwood 1973, ISBN 0-8053-2512-3.</li>

<li><a href="Klaus_Hentschel" title="Klaus Hentschel">Klaus Hentschel</a>: Zum Zusammenspiel von Instrument, Experiment und Theorie: Rotverschiebung im Sonnenspektrum und verwandte spektrale Verschiebungseffekte von 1880 bis 1960. (Habilitationsschrift 1995), Verlag Dr. Kovac, Hamburg 1998, ISBN 3-86064-730-X.</li>

<li>Rainer Kayser: <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r261891140">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .webarchiv-memento a{color:inherit}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20100916050712/http://www.mpia-hd.mpg.de/suw/suw/SuW/BR-alpha/AC006%20-%20Universum/AC006-114.html">Licht und Asche des Urknalls.</a> (<a href="Webarchivierung#Begrifflichkeiten" title="Webarchivierung">Memento</a> vom 16. September 2010 im <a href="Internet_Archive" title="Internet Archive">Internet Archive</a>). In: <a href="Sterne_und_Weltraum" title="Sterne und Weltraum">Sterne und Weltraum</a>. Special 2 – Schöpfung ohne Ende. S. 106–117 (online auf mpia-hd.mpg.de).</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Redshift?uselang=de">Commons: Rotverschiebung</a> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Redshift?uselang=de">Commons: Rotverschiebung</a> – Album mit Bildern</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Rotverschiebung" class="extiw external" title="wikt:Rotverschiebung">Wiktionary: Rotverschiebung</a> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Siehe Albert Einstein: Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen. In: Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik. 4 (1907), 411–462 und 5 (1907), 98–99.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Albert Einstein: Über den Einfluß der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes. Annalen der Physik, 35, 898 (1911). In der Herleitung wird ein Kreisprozess betrachtet, in dem ein Körper durch die Emission von Strahlung an Masse verliert und ein zweiter Körper durch Absorption dieser Strahlung gerade soviel Masse gewinnen muss, dass die Summe der potentiellen Energien beider Körper im Gravitationsfeld gleich bleibt. Andernfalls wäre die Anordnung ein <a href="Perpetuum_mobile#Perpetuum_mobile_erster_Art" title="Perpetuum mobile">Perpetuum Mobile 1. Art</a>.

</li>

<li id="cite_note-Hetherington1980-3"><a href="#cite_ref-Hetherington1980_3-0">↑</a> N. S. Hetherington: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://adsabs.harvard.edu/full/1980QJRAS..21..246H">Sirius B and the gravitational redshift: An historical review.</a> In: Quarterly Journal Royal Astronomical Society, vol. 21, Sept. 1980, S. 246–252, abgerufen am 13. September 2024.

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Siehe dazu Klaus Hentschel: The discovery of the redshift of solar Fraunhofer lines by Rowland and Jewell in Baltimore around 1890. In: Historical Studies in the Physical and Biological Sciences. 23 [1993], 219–277.

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Siehe dazu <a href="Klaus_Hentschel" title="Klaus Hentschel">Klaus Hentschel</a>: Grebe/Bachems photometrische Analyse der Linienprofile und die Gravitations-Rotverschiebung. In: Annals of Science. 49 [1992], 21–46. The Conversion of St. John – a Case Study on the Interplay of Theory and Experiment. In: Science in Context. 7 [1993], 137–194. Erwin Finlay Freundlich and testing Einstein’s theory of relativity. In: Archive for the History of the Exact Sciences. 47 [1994], S. 143–201. Zum Zusammenspiel von Instrument, Experiment und Theorie: Rotverschiebung im Sonnenspektrum und verwandte spektrale Verschiebungseffekte von 1880 bis 1960. (Habilitation 1995), Kovac, Hamburg 1998 und dort genannte weiterführende Literatur.

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> R.V. Pound, Glen Rebka: Gravitational redshift in nuclear resonance. In: Physics Review Letters. 3 (1959), 439–441. Apparent weight of photons. In: Physics Review Letters. 4 (1960), 337–341. Klaus Hentschel: Measurements of gravitational redshift between 1959 and 1971. In: Annals of Science. 53 [1996], 269–295.

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Gravity Collaboration (R. Abuter u. a.): <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.aanda.org/articles/aa/abs/2018/07/aa33718-18/aa33718-18.html">Detection of the gravitational redshift in the orbit of the star S2 near the Galactic centre massive black hole.</a> In: Astronomy & Astrophysics. Band 615, 2018, L 15, <a href="https://doi.org/10.1051/0004-6361/201833718" class="extiw external" title="doi:10.1051/0004-6361/201833718">doi:10.1051/0004-6361/201833718</a>, abgerufen am 4. August 2024.

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> V. M. Slipher: '<a rel="nofollow" class="external text" href="https://articles.adsabs.harvard.edu/full/1915PA.....23...21S">Spectrographic Observations of Nebulae.</a> In: Popular Astronomy. Vol. 23, 1915, S. 21–24. Abgerufen am 4. August 2024.

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.stern.de/panorama/wissen/kosmos/galaxie-udfy-38135539-forscher-schauen-ans-ende-des-universums-3527510.html">Forscher schauen ans Ende des Universums.</a> In: stern.de. 20. Oktober 2010, abgerufen am 4. August 2024.

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<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> M. D. Lehnert u. a.: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.nature.com/articles/nature09462">Spectroscopic confirmation of a galaxy at redshift z = 8.6.</a> In: Nature.com. 467, 2010, S. 940–942. Abgerufen am 4. August 2024.

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<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://science.nasa.gov/missions/hubble/nasas-hubble-finds-most-distant-galaxy-candidate-ever-seen-in-universe">NASA’s Hubble Finds Most Distant Galaxy Candidate Ever Seen in Universe.</a> In: science.<a href="NASA" title="NASA">NASA</a>.gov. NASA Hubble Mission Page. 26. Januar 2011, abgerufen am 4. August 2024.

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<li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> R. J. Bouwens u. a.: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.nature.com/articles/nature09717">A candidate redshift z ≈ 10 galaxy and rapid changes in that population at an age of 500 Myr.</a> In: Nature.com. 469, 2011, S. 504–507. Abgerufen am 4. August 2024. R. J. Bouwens u. a.: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://static-content.springer.com/esm/art%3A10.1038%2Fnature09717/MediaObjects/41586_2011_BFnature09717_MOESM310_ESM.pdf">Searches and limits for z ≈ 10 galaxies in the HST HUDF09 Data.</a> In: Nature.com. Supplementary Information for Nature Letter. (PDF; 731 kB). Abgerufen am 4. August 2024.

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<li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> <cite style="font-style:italic">»James Webb«-Teleskop entdeckt früheste bekannte Galaxie</cite>. In: <cite style="font-style:italic"><a href="Der_Spiegel" title="Der Spiegel">Der Spiegel</a></cite>. 21. Juli 2022, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%222195-1349%22&key=cql">2195-1349</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.spiegel.de/wissenschaft/weltall/james-webb-teleskop-entdeckt-frueheste-bekannte-galaxie-a-588e16bd-aa08-435c-9413-6fc3426f0835">spiegel.de</a> [abgerufen am 4. August 2024]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Rotverschiebung&rft.atitle=%C2%BBJames+Webb%C2%AB-Teleskop+entdeckt+fr%C3%BCheste+bekannte+Galaxie&rft.date=2022-07-21&rft.genre=journal&rft.issn=2195-1349&rft.jtitle=Der+Spiegel" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-14"><a href="#cite_ref-14">↑</a> Rohan P. Naidu et al.: <cite style="font-style:italic">Two Remarkably Luminous Galaxy Candidates at <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z\simeq 10{\text{–}}12}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z\simeq 10{\text{–}}12}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4c1e89155ca808c8e87a23b2f6d6d8b15295079d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.999ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle z\simeq 10{\text{–}}12}" loading="lazy"> Revealed by JWST</cite>. <a href="ArXiv" title="ArXiv">arxiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/2207.09434">2207.09434</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Rotverschiebung&rft.au=Rohan+P.+Naidu+et+al.&rft.btitle=Two+Remarkably+Luminous+Galaxy+Candidates+at++Revealed+by+JWST&rft.genre=book" style="display:none">  Abgerufen am 4. August 2024.

</li>

<li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> Jaron Schneider: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://petapixel.com/2022/07/20/james-webb-telescope-breaks-record-for-oldest-galaxy-ever-observed/">James Webb Telescope Breaks Record for Oldest Galaxy Ever Observed.</a> 20. Juli 2022, abgerufen am 4. August 2024 (englisch).<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ARotverschiebung&rft.title=James+Webb+Telescope+Breaks+Record+for+Oldest+Galaxy+Ever+Observed&rft.description=James+Webb+Telescope+Breaks+Record+for+Oldest+Galaxy+Ever+Observed&rft.identifier=https%3A%2F%2Fpetapixel.com%2F2022%2F07%2F20%2Fjames-webb-telescope-breaks-record-for-oldest-galaxy-ever-observed%2F&rft.creator=Jaron+Schneider&rft.date=2022-07-20&rft.language=en">

</li>

<li id="cite_note-16"><a href="#cite_ref-16">↑</a> Martin Holland: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.heise.de/news/290-Millionen-Jahre-nach-dem-Urknall-Am-weitesten-entfernte-Galaxie-bestaetigt-9742320.html">290 Millionen Jahre nach dem Urknall: Am weitesten entfernte Galaxie bestätigt.</a> In: <a href="Heise.de" class="mw-redirect" title="Heise.de">Heise.de</a>. 2024, abgerufen am 4. August 2024.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3ARotverschiebung&rft.title=290+Millionen+Jahre+nach+dem+Urknall%3A+Am+weitesten+entfernte+Galaxie+best%C3%A4tigt&rft.description=290+Millionen+Jahre+nach+dem+Urknall%3A+Am+weitesten+entfernte+Galaxie+best%C3%A4tigt&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.heise.de%2Fnews%2F290-Millionen-Jahre-nach-dem-Urknall-Am-weitesten-entfernte-Galaxie-bestaetigt-9742320.html&rft.creator=Martin+Holland&rft.date=2024&rft.language=de">

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<li id="cite_note-Fließbach-17">↑ <a href="#cite_ref-Fließbach_17-0">a</a> <a href="#cite_ref-Fließbach_17-1">b</a> <a href="Torsten_Flie%C3%9Fbach" title="Torsten Fließbach">Torsten Fließbach</a>: Allgemeine Relativitätstheorie. 4. Auflage. Elsevier – Spektrum Akademischer Verlag, 2003, ISBN 3-8274-1356-7.

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<li id="cite_note-brill_1972-18"><a href="#cite_ref-brill_1972_18-0">↑</a> Dieter R. Brill (1972): <a rel="nofollow" class="external text" href="https://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-05793-5_2">A simple derivation of the general redshift formula.</a> In: D. Farnsworth, J. Fink, J. Porter, A. Thompson (Hrsg.): Methods of Local and Global Differential Geometry in General Relativity. Lecture Notes in Physics, vol. 14. Springer, Berlin/Heidelberg, <a href="https://doi.org/10.1007/3-540-05793-5_2" class="extiw external" title="doi:10.1007/3-540-05793-5 2">doi:10.1007/3-540-05793-5_2</a>, abgerufen am 4. August 2024.

</li>

<li id="cite_note-carroll_1997-19">↑ <a href="#cite_ref-carroll_1997_19-0">a</a> <a href="#cite_ref-carroll_1997_19-1">b</a> <a href="#cite_ref-carroll_1997_19-2">c</a> <a href="#cite_ref-carroll_1997_19-3">d</a> Sean M. Carroll (1997): <a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/gr-qc/9712019">Lecture Notes on General Relativity.</a> In: arxiv.org. Abgerufen am 4. August 2024.

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Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4178556-3">4178556-3</a> | <a href="Library_of_Congress_Control_Number" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh85112092">sh85112092</a> </div>

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